Một không gian con afin (đôi khi gọi là đa tạp tuyến tính) của không gian vectơ V là một tập con đóng của tổ hợp afin các vectơ trong không gian. Ví dụ tập hợp

A = { ∑ i N α i v i | ∑ i N α i = 1 } {\displaystyle A={\Bigl \{}\sum _{i}^{N}\alpha _{i}\mathbf {v} _{i}{\Big |}\sum _{i}^{N}\alpha _{i}=1{\Bigr \}}}

là không gian afin, với { v i } i ∈ I {\displaystyle \scriptstyle \{\mathbf {v} _{i}\}_{i\in I}} là họ các vectơ trong V; không gian này gọi là mở rộng afin của những điểm này. Để chứng tỏ nó quả thực là không gian afin, nhận thấy rằng tập này mang tác dụng chuyển tiếp của không gian con vectơ W của V

W = { ∑ i N β i v i | ∑ i N β i = 0 } . {\displaystyle W={\Bigl \{}\sum _{i}^{N}\beta _{i}\mathbf {v} _{i}{\Big |}\sum _{i}^{N}\beta _{i}=0{\Bigr \}}.}

Không gian con afin này có thể miêu tả một cách tương đương như là lớp lân cận của W-tác dụng

S = p + W , {\displaystyle S=\mathbf {p} +W,\,}

với p là phần tử bất kỳ của A, hay là tập lớp tương đương của ánh xạ thương V → V/W. Cách chọn p cho ra một điểm cơ sở của A và một đồng nhất của W với A, nhưng không có cách chọn tự nhiên, hoặc đồng nhất tự nhiên của W với A.

Phép biến đổi tuyến tính là một hàm bảo tồn mọi tổ hợp tuyến tính; và phép biến đổi afin là một hàm bảo tồn mọi tổ hợp afin. Một không gian con tuyến tính là một không gian con afin chứa gốc, hay một cách tương đương, đó là một không gian con đóng dưới tổ hợp tuyến tính.

Ví dụ, trong R 3 {\displaystyle \scriptstyle {\mathbb {R} ^{3}}} , gốc tọa độ, đường thẳng, mặt phẳng đi qua gốc và toàn bộ không gian là không gian con tuyến tính, trong khi các điểm, đường thẳng và mặt phẳng nói chung và toàn bộ không gian là không gian con afin.